Berechne das Integral
\[ \int \sin^3 x \; dx \]
Schreibe den Integranden \( \sin^3 x \) als Produkt von \( \sin^2 x \) und \( \sin x \)
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin^2 x \sin x \; dx \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \; \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \), um das Integral umzuschreiben
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \; dx \]
Multipliziere \( (1 - \cos^2 x) \sin x \) aus und schreibe
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin x \; dx - \int \cos^2 x \sin x \; dx \]
Integration durch Substitution: Setze \( u = \cos x \) und daher \( \dfrac{du}{dx} = - \sin x \) oder \( du = - \sin x \; dx \). Setze ein, um zu erhalten
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin x \; dx + \int u^2 \; du \]
Verwende Integralformeln, um das obige Integral auszuwerten, und schreibe
\[ \int \sin^3 x \; dx = - \cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]
Ersetze \( u = \cos x \) zurück, um die endgültige Antwort zu finden
\[ \boxed { \int \sin^3 x \; dx = - \cos x + \dfrac{1}{3} \cos^3 x + c } \]