Integral von \( \sin^3 x \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

Schreiben Sie den Integranden \( \sin^3 x \) als Produkt von \( \sin^2 x \) und \( \sin x \) um:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \), um das Integral wie folgt zu schreiben:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

Entwickeln Sie \( (1 - \cos^2 x)\sin x \) und schreiben Sie:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \cos x \), was \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) bzw. \( du = -\sin x \, dx \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

Verwenden Sie Integralformeln, um das Integral zu berechnen:

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Setzen Sie \( u = \cos x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten: